Guia 1 de Mecanica

Diferencia entre una magnitud física escalar y vectorial

La diferencia entre una magnitud física escalar y vectorial, es la manera en como se transforman bajo un cambio de sistema de referencia. Las magnitudes escalares son invariables a los cambios en los sistemas de referencia, mientras que las magnitudes vectoriales, no lo son. Para modelar una magnitud escalar se pueden utilizar $$ a \in \mathbb{R} $$ Mientras que para modelar magnitudes vectoriales funciona el utilizar números en $\mathbb{R}^n$ $$ \vec{v} \in \mathbb{R}^n $$

Vectores rectangulares y polares

Formula para sacar Magnitudes $$ M = \sqrt{(a)^2 + (b)^2} $$

Leyes del álgebra Vectorial

Sean $\vec A,\vec B,\vec C$ y sean $m$ y $n$ dos escalares. En estas condiciones se verifica lo siguiente,

1. $\vec A + \vec B = \vec B + \vec A$ (Ley conmutativa de la suma vectorial)
2. $\vec A + \vec B + \vec C = (\vec B + \vec A) + \vec C$ (Ley asociativa de la suma vectorial)
3. $m \vec A = \vec A m$ (Ley conmutativa respecto al escalar vector)
4. $(m+n) \vec A = m\vec A + n\vec A$ (Ley distributiva con respecto al producto de un vector con la suma de escalares)
5. $m(\vec A + \vec B) = m\vec A + m\vec B$

Vector unitario

Llamemos vector unitario a todo vector con Magnitud igual a uno. Cualquier vector $\vec A$ se puede representar multiplicando por cierto escalar. Estos representan se representan con el gorrito ( $\textasciicircum$ ).

Formula para pasar de un vector $\vec A$ a uno unitario $\hat A$ $$ \hat A=\frac{\vec A}{A} $$

Donde $\hat A$ es el vector unitario igual a el vector $\vec A$ sobre su Magnitud o modulo $A$

Ejemplo: Vector unitario

Sea $\vec r=(7,3)$, encuentre a $\hat r$. Primero sacamos la magnitud la cual es: $$ M=\sqrt{(7)^2(3)^2} $$ $$ M=7.616 $$ Ahora sacamos el vector unitario $\hat r$ usando la formula $$ \hat r=(\frac{7}{M},\frac{3}{M}) $$ $$ \hat r=(9.197\times 10^{-1},3.939\times 10^{-1}) $$ Entonces hacemos la comprobación de esto sacando la Magnitud de este vector unitario el cual nos debe dar $1$ como magnitud ya que es unitario, como lo indica el nombre $$ M_{\hat r}=\sqrt{(9.197\times 10^{-1})^{2}+(3.939\times 10^{-1})^{2}} $$ $$ M_{\hat r}=1 $$

Vectores canónicos

Los vectores canónicos, son vectores unitarios dirigidos en alguno de las direcciones. Ejemplos:

• $(-5,2,3)=-5\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}$
• $(-1)(2,3,1)=-2\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + \mathbf{k}$

Recordar que dos vectores son iguales, si solo si tienen la misma dimensión y cada componente correspondiente es la misma.

Producto punto

(Producto escalar o producto interno) Sean $A$ y $B$ dos vectores de la misma dimensión. Definamos su producto punto de la siguiente forma: $$ \vec A \cdot \vec B=AB\cos(\theta_{AB}) $$ Tomando en cuenta que: $$ 0\leq\theta_{AB}\leq\pi $$

Ejemplo: Producto punto

Obtenga el producto punto de $\vec A=(7,4)$ y $\vec B=(1,1)$ Primero sacamos las Magnitudes de $A$ y $B$ $$ M_{A}=\sqrt{(7)^2+(4)^2}=\sqrt{65} $$ $$ M_{B}=\sqrt{(1)^2+(1)^2}=\sqrt{2} $$ Multiplicamos ahora las magnitudes $$ M_{AB}=\sqrt{65}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{130} $$ Después sacamos los ángulos de $A$ y $B$ $$ \theta_{A} = \arctan\left(\frac{4}{7}\right)=2.974\times10\cdot\frac{\pi}{180}=5.191\times10^{-1} $$ $$ \theta_{B} = \arctan\left(\frac{1}{1}\right)=45\cdot\frac{\pi}{180}=7.857\times10^{-1} $$ Restamos los ángulos resultantes tomado primero el mas grande para que tengamos un numero positivo $$ 7.857\times10^{-1}-5.191\times10^{-1}=2.663\times10^{-1} $$ Después usamos la formula de producto punto $$ \sqrt{130}\cdot\cos(2.663\times10^{-1})=11 $$ Entonces obtenemos que el producto punto de A y B es de: $$ \vec A \cdot \vec B=11 $$ o simplemente:

$$ \vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z $$

Sustituyendo esta formula $$ \vec A \cdot \vec B=(7\cdot1)+(4\cdot1)=7+4=11 $$ Note que el producto punto representa la proyección entre los vectores cuando no son colineales

Propiedades del producto punto

1. $\vec A\cdot\vec B=\vec B\cdot\vec A$
2. $\vec A (\vec B+\vec C)=\vec A\cdot\vec B+\vec B\cdot\vec C$
3. $A^2=\vec A\cdot\vec A$
4. $\vec A \perp\vec B <=>\vec A\cdot\vec B=0$
5. $\cos \theta_{AB}=\frac{A^2+B^2-C}{2AB}$
6. $(m\vec A)\vec B=\vec A(m\vec B)=m(\vec A\cdot\vec B)$
7. $\mathbf{i}\cdot\mathbf{i}=1$ $\mathbf{i}\cdot\mathbf{j}=0$ $\mathbf{j}\cdot\mathbf{j}=1$ $\mathbf{i}\cdot\mathbf{k}=0$ $\mathbf{k}\cdot\mathbf{k}=1$ $\mathbf{k}\cdot\mathbf{j}=0$

Producto cruz

Sean $A$ y $B$ dos vectores tridimensionales definimos su producto cruz como aquel vector tridimensional, tal que:

Formula para producto cruz. $$ \vec{A} \times \vec{B} = |\vec{A}|,|\vec{B}| ,\sin(\theta_{A-B}),\hat{u} $$

Donde $\hat{u}$ es un vector unitario tridimensional, perpendicular a $\vec{A}$ y $\vec{B}$, definido como:

$$ |a| = \begin{cases} \phantom{-}a & \text{si } a \geq 0, \ -a & \text{si } a < 0. \end{cases} $$

Además:

$$ 0 \leq \theta_{AB} \leq \pi, $$

con el sentido definido por la regla de la mano derecha:

$$ \vec{A} \times \vec{B} > 0 \quad \text{de A a B en sentido antihorario} $$

$$ \vec{A} \times \vec{B} < 0 \quad \text{de A a B en sentido horario} $$

Fórmula para el vector unitario del producto cruz: $$ \hat{u} = \frac{\vec{A}\times\vec{B}}{|\vec{A}|,|\vec{B}|\sin\theta_{AB}} $$

Ejemplo de producto cruz

Encontrar el producto cruz de $A=(1,1,1$) y $B=(1,2,3)$ Tomando en cuenta la formula de producto cruz $$ \vec A\times\vec B= (M_{A}\cdot M_{B}) \sin({\theta_{A-B}})\hat u $$ Primero sacamos las magnitudes de ambos vectores y las multiplicamos $$ M_{A}=\sqrt{(1)^2+(1)^2+(1)^2}=\sqrt{3} $$ $$ M_{B}=\sqrt{(1)^2+(2)^2+(3)^2}=\sqrt{14} $$ $$ (M_{A}\cdot M_{B})=\sqrt{3}\cdot\sqrt{14}=\sqrt{42} $$ Después sacamos a $\theta$ de $A$ y $B$ usando la multiplicación de las magnitudes de ambos vectores $$ |\theta_{AB}| = \arccos\left(\frac{6}{\sqrt{42}}\right) = 22.2^\circ $$ Porque $6$?, bueno proviene del producto punto de los vectores $A$ y $B$, denotado como: $$ \vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z $$ Sustituimos $$ \vec{A} \cdot \vec{B} = (1\cdot1)+(1\cdot2)+(1\cdot3)=1+2+3=6 $$ Dando a $6$ como resultado. Usando estos datos sustituimos en formula de producto cruz $$ \vec A\times\vec B= (\sqrt{42}) \sin(22.2)\hat u=0.37\hat u $$ Lo cual da como resultado que le producto cruz entre $A$ y $B$ es de $0.37\hat u$

Propiedades del producto cruz

1. $\vec A\times\vec B=-\vec B-\vec A$ (Es anti-conmutativo)
2. $\vec A(\vec B + \vec C)= \vec A\times\vec B + \vec A\times\vec C$ (Propiedad distributiva del producto cruz con respecto a la suma de vectores)
3. $m(\vec A\times\vec B)=(m\vec A)\vec B= \vec A(m\vec B)=(\vec A\times\vec B)m$
4. $\mathbf{i}\cdot\mathbf{i}=0$ $\mathbf{i}\cdot\mathbf{j}=\mathbf{k}$ $\mathbf{j}\cdot\mathbf{i}=\mathbf{-k}$ $\mathbf{j}\cdot\mathbf{j}=0$ $\mathbf{i}\cdot\mathbf{k}=\mathbf{-j}$ $\mathbf{k}\cdot\mathbf{i}=\mathbf{j}$ (Producto cruz entre vectores) $\mathbf{k}\cdot\mathbf{k}=0$ $\mathbf{j}\cdot\mathbf{k}=\mathbf{i}$ $\mathbf{k}\cdot\mathbf{j}=\mathbf{-i}$ *Esto es para sacar a $\hat u$
5. $\text{Magnitud del producto cruz, representa el area del paralelogramo que forman los vectores}$
6. $\text{Si } \vec{A} \times \vec{B} = 0 \text{ y } M_{A} \neq 0, M_{B} \neq 0, \text{ entonces } \vec{A} \text{ y } \vec{B} \text{ son paralelos o antiparalelos,} \ \text{es decir, forman un ángulo de } 0^{\circ} \text{ o } 180^{\circ}$
7. $\vec A\times\vec B=(A_{1}+A_{2}+A_{3})(B_{1}+B_{2}+B_{3})$ De la cual sale la siguiente formula:

Formula para producto cruz 2 $$ \vec A\times\vec B=(A_{2}B_{3}-A_{3}B_{2})\mathbf{i}+(A_{3}B_{1}-A_{1}B_{3})\mathbf{j}+(A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1})\mathbf{k} $$